La fluidodinámica computacional y el problema matemático del milenio

Fue hasta que el ingeniero francés y el fisicomatemático irlandés, Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes, consideraron la turbulencia, la viscosidad y los regímenes no estacionarios en el análisis complejo de los fluidos, que sus ecuaciones revolucionaron el campo científico, al brindar una nueva perspectiva a la comprensión y predicción del movimiento de fluidos.

A pesar de la contribución científica, las ecuaciones de Navier-Stokes no han sido resueltas, constituyendo uno de los problemas matemáticos del milenio, que la fluidodinámica computacional busca resolver a través de modelos numéricos.

La resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes marcaría un punto de partida en el entendimiento de fenómenos naturales como los huracanes e, incluso, en el conocimiento y la predicción de inundaciones.

La Dra. Rosanna Bonasia, profesora del Departamento de Tecnologías Sostenibles y Civil del Tecnológico de Monterrey, explica que la fluidodinámica es una rama de la mecánica de fluidos, fundamental para la ciencia al posibilitar el entendimiento y la predicción del comportamiento de los fluidos en movimiento aplicando las leyes físicas de la mecánica.

Desde hace siglos, es estudiado el movimiento de los fluidos y realizadas diversas simplificaciones, es decir, asunciones (hipótesis) que simplifican el estudio de los fluidos. En palabras de la experta en fluidodinámica computacional, «siempre se han estudiado los fluidos comparándolos con fluidos ideales. Desde este punto de vista, al hacer simplificaciones, son canceladas todas las características más complejas de los fluidos».

Para calcular y analizar el movimiento de los fluidos, anteriormente, era utilizada la Ley de Bernoulli -formulada por Daniel Bernoulli-, la cual era aplicada en canales abiertos y cerrados, pero tenía la limitación de que el fluido no debía tener ninguna viscosidad. «Sin embargo, ningún fluido, ni siquiera el agua -que es el fluido más ideal que podamos considerar-, carece de viscosidad».

Aunque la Ley de Bernoulli ayudó a describir el movimiento de los fluidos, quedó limitada en condiciones como el desarrollo turbulencia en un fluido: al formarse vórtices, éstos hacen que las características del fluido -como la velocidad- no sean promedio como cuando el fluido es lineal.

A decir de la investigadora nacional, nivel II, «los componentes de la velocidad empiezan a tener direcciones aleatorias, caóticas. Cuando calculamos la velocidad en un fluido real, tenemos que tomar en cuenta todos estos componentes caóticos. Por lo tanto, la dinámica de fluidos es un tema muy complejo, si consideramos todas las características reales del fluido».

Después de Bernoulli, Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes propusieron que debían ser consideradas condiciones como la turbulencia, la viscosidad y los regímenes no estacionarios para tratar de manera real y completa a los fluidos. Fue así que desarrollaron las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales complejas, que describen el fluido considerando las características mencionadas, agilizando y facilitando el análisis y estudio analítico del movimiento de los fluidos.

Las ecuaciones de Navier-Stokes constan de una ecuación de conservación de la masa y dos de conservación de la cantidad de movimiento. «Estas ecuaciones son tan complejas que actualmente no tienen una solución analítica; de hecho, las ecuaciones de Navier-Stokes son uno de los problemas matemáticos no resueltos del milenio».

Aunque actualmente nadie ha resuelto las ecuaciones, se han buscado formas para aplicarlas y tener una aproximación a la solución real, a través de la dinámica de fluidos computacional. Al respecto, la Dra. Bonasia comenta que «encontrar una solución que se aproxime la solución real de las ecuaciones de Navier-Stokes, nos da la posibilidad de resolver, encontrar respuestas a problemas muy complejos de la naturaleza, como las previsiones meteorológicas en un huracán -desde el impacto, llegada y trayectoria-”.

Estas aproximaciones, realizadas mediante un modelo matemático, también permiten encontrar respuestas a fenómenos como las inundaciones, desde cómo se dispersan, qué tipo de profundidad va a tener el agua, la velocidad del agua y el posible impacto en las estructuras civiles.

A manera de ejemplo, para estudiar una inundación, es dividida la geometría en una malla computacional, la cual está compuesta por celdas. En cada celda son resueltas las ecuaciones de Navier-Stokes, de tal manera, que se puede conocer la profundidad y la velocidad del agua en cada una de ellas. Para lograrlo es utilizado un método numérico particular, ya sea el método de volúmenes finitos, de diferencias finitas, de elementos finitos, etc.

«Estos métodos están solucionando las ecuaciones de Navier-Stokes, con ciertos errores; pero, entre más pequeña es la distancia entre cada celda, menos residuos, es decir menos errores». Para resolver las ecuaciones, los modelos numéricos realizan miles de iteraciones para obtener las resoluciones y que la diferencia en cada una de las celdas sea mínima.

La Dra. Bonasia refiere que «eso es lo que hace la fluidodinámica computacional: resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, utilizando un modelo numérico en una geometría real [...]. Lo que hacemos con el modelo numérico es romper en pedazos la ecuación de Navier-Stokes y tratar de solucionar cada una de las problemáticas de las ecuaciones por fuera».

Para poder aplicar la fluidodinámica computacional es necesario un modelo, es decir, un código; no sin antes identificar el problema que se desea resolver y posteriormente seleccionar la ecuación adecuada.

Cuando ha sido identificado el modelo físico, debe identificarse el modelo matemático. «Una vez que tienes los dos modelos, el físico y el matemático, se debe seleccionar la herramienta que se va a utilizar para resolver el problema».

Esta herramienta es un código. Ahora existen diversos softwares como Eliber, Fluent, Console Multiphysics, etc., que pueden ser empleados para resolver este tipo de problemas. Al seleccionar el más adecuado, es generado el caso de estudio, el cual requiere de una geometría, una representación virtual de la realidad, como un mapa que abarque distribuciones geográficas en dos dimensiones.

«Una vez que se tiene la geometría, se va a calcular la malla computacional. Esto usualmente lo hacen los softwares y existen diferentes tipos de mallas computacionales, cada una con características diferentes».

Dependiendo del problema, son elegidos el tipo de malla a construir y su resolución; al tiempo que son realizadas pruebas de sensibilidad para obtener el mejor resultado en un menor tiempo de cómputo. De acuerdo con la Dra. Bonasia, «mi modelo hace el cálculo, dependiendo de la geometría, de la extensión de la geometría, de la resolución de la malla computacional… Se toma su tiempo y, al final, me dice si hay errores o no hay errores, y me da una solución».

Los modelos actuales dan la posibilidad del postproceso de los resultados, en el que el modelo visualiza los resultados en formatos de mapas, de gráficas, de diagramas. Esta información puede ser representada de diversas formas: curvas, con áreas de colores que muestren los resultados de la simulación hidráulica o fluidodinámica.

«La fluidodinámica computacional brinda una ventaja impresionante sobre lo que se puede hacer en un laboratorio: tiene un costo limitado respecto de lo que se puede hacer en el laboratorio y es más rápido, pero claramente se necesita de un expertise sólido para aplicar un modelo numérico».